Построено точное решение уравнений Навье – Стокса для описания неустановившихся сдвиговых изобарических течений вязкой несжимаемой жидкости. Исходная система уравнений гидродинамики редуцируется к переопределенной нелинейной системе уравнений в частных производных. Для этой системы в классе Линя – Сидорова – Аристова построено нетривиальное точное решение с функциональным произволом. Для аналитического исследования свойств системы уравнений использовалось порождающее решение, которое позволяет тиражировать (размножать) точные решения для уравнений гидродинамики. Описание неустановившихся течений основано на модификации метода разделения переменных Фурье. Выведены уравнения для определения структуры гидродинамического поля. Развивается идея построения новых типов точных решения для поля скоростей с нелинейной зависимостью от двух пространственных координат. Анонсированные точные решения позволяют описывать течения вертикально завихренной жидкости без предварительной закрутки.